Question

如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在AB上取一点F，使AF=AC，连结EF，就可以得出△ACE≌△AFE，就有∠C=∠AFE．由平行线的性质就有∠C+∠D=180°，由∠AFE+∠EFB=180°得出∠EFB=∠D，在证明△BEF≌△BED就可以得出BF=BD，进而就可以得出结论．

解答：证明：在AB上取一点F，使AF=AC，连结EF．
∵EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE=∠FAE，∠EBF=∠EBD．
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°．
在△ACE和△AFE中，

AC=AF ∠CAE=∠FAE AE=AE

，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠C=∠AFE．
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠D．
在△BEF和△BED中，

∠EFB=∠D ∠EBF=∠EBD BE=BE

，
∴△BEF≌△BED（AAS），
∴BF=BD．
∵AB=AF+BF，
∴AB=AC+BD．

点评：本题考查了平行线的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．