Question

如图，已知直线y=x与二次函数y=x²+bx的图象交于点A、O，（O是坐标原点），点B为二次函数图象的顶点，OA=3

2

．
（1）求b的值及过B、A两点的一次函数的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于C，点P在线段OA上，Q在抛物线上，且PQ∥x轴，若以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）若点P在线段OA上，Q在抛物线上，且PQ∥x轴，PQ将△AOB的面积二等分时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由点A在直线y=x上，可知A的横纵坐标相等，又因为OA=3

2

，所以可以求出A的坐标，再把A的坐标代入y=x²+bx，求出b的值即可求出函数的解析式；
（2）用配方法求出顶点P的坐标，设Q的坐标为（x，x²-2x），则P（x²-2x，x²-2x），根据平行四边形的性质即可求得结论；
（3）先求得三角形AOB的面积为

3

2

，然后根据题意求得S_△APF=

3

2

，根据相似三角形的性质得到比例式，得出△APF底边PF上的高h，即可求得P的纵坐标，进而求得P的坐标．

解答：解：（1）∵点A在直线y=x上，且OA=3

2

，
∴A点的坐标是（3，3）
∵点A（3，3）在函数y=x²+bx的图象上，
∴3=9+3b，
解得：b=-2，
故二次函数的解析式是y=x²-2x；

（2）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴顶点B的坐标为（1，-1）
设Q的坐标为（x，x²-2x），则P（x²-2x，x²-2x），
∵以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，
∴PQ=OC=1，
∴x²-2x-x=1，即x²-3x-1=0，解得，x=

3+ 13

2

或x=

3- 13

2

，
∴Q（

3+ 13

2

，

5+ 13

2

）或（

3- 13

2

，

5- 13

2

）；

（3）A（3，3），B（1，-1），
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
∴直线AB与x轴的交点E为（

3

2

，0），
S_△OEB=

1

2

×

3

2

×1=

3

4

，S_△AOE=

1

2

×

3

2

×3=

9

4

，
∴S_△AOB=S_△OEB+S_△AOE=

3

4

+

9

4

=3，
∵PQ将△AOB的面积二等分，
∴S_△APF=

3

2

，
∵PQ∥x轴，
∴△APF∽△AOE，
∴（

h

3

）²=

S△APF

S△AOE

=

3 2

9 4

=

2

3

，
∴h=

6

，
∴P点的纵坐标为3-

6

，
∵P在线段OA上，
∴P（3-

6

，3-

6

）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点坐标、平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题时也要注意分类讨论数学思想的运用，题目的综合性很强，难度中等．