Question

如图，⊙O切y轴于原点O，过点A（-2

3

，0）作AP切⊙B于P，∠1=30°．
（1）求⊙B的半径r及直线AP的解析式；
（2）是否存在点N（0，b），使△APN是直角三角形？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连结BP，作PH⊥AB于H，如图，根据切线的性质得到∠APB=90°，OB=r，在Rt△ABP中利用含30度的直角三角形三边的关系2

3

+r=2r，即可解得r=2

3

；再在Rt△PBH中计算出BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，则P点坐标为（

3

，3），然后利用待定系数法求直线AP的解析式；
（2）先根据两点间的距离公式得到AN²=（2

3

）²+b²，AP²=（

3

+2

3

）²+3²=36，PN²=（

3

）²+（b-3）²，然后分类讨论：当∠APN=90°时，AP²+PN²=AN²，即36+（

3

）²+（b-3）²=（2

3

）²+b²，；当∠PAN=90°时，AP²+PN²=AN²，即36+（2

3

）²+b²=（

3

）²+（b-3）²；当∠ANP=90°时，AN²+PN²=AP²，即（2

3

）²+b²+（

3

）²+（b-3）²=36，再分别解关于b的方程即可．

解答：解：（1）连结BP，作PH⊥AB于H，如图，
∵AP切⊙B于P，
∴PB⊥AP，
∴∠APB=90°，
∵⊙O切y轴于原点O，
∴OB=r，
在Rt△ABP中，PB=OB=r，
∵∠1=30°，
∴AB=2PB，
∴2

3

+r=2r，
∴r=2

3

；
在Rt△PBH中，∵∠PBH=60°，PB=2

3

，
∴BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，
∴OH=OB-BH=

3

，
∴P点坐标为（

3

，3），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
把A（-2

3

，0），P（

3

，3）代入得

-2 3 k+b=0 3 k+b=3

，解得

k= 3 3 b=2

，
∴直线AP的解析式为y=

3

3

x+2；

（2）存在．
∵A（-2

3

，0），N（0，b），P（

3

，3），
∴AN²=（2

3

）²+b²，AP²=（

3

+2

3

）²+3²=36，PN²=（

3

）²+（b-3）²，
当∠APN=90°时，AP²+PN²=AN²，即36+（

3

）²+（b-3）²=（2

3

）²+b²，解得b=6；
当∠PAN=90°时，AP²+PN²=AN²，即36+（2

3

）²+b²=（

3

）²+（b-3）²，解得b=-6；
当∠ANP=90°时，AN²+PN²=AP²，即（2

3

）²+b²+（

3

）²+（b-3）²=36，整理得b²-3b-4=0，解得b₁=4，b₂=-1，
综上所述，b的值为-6或-1或4或6．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质；会运用待定系数法求一次函数的解析式；会运用勾股定理、两点间的距离公式和含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算；理解坐标与图形性质；能运用分类讨论的思想解决数学问题．