Question

如图所示，AB是以O为圆心的半圆的直径，P在BA的延长线上，过P作半圆的切线PM，M是切点，弦MN∥AB，OH⊥MN，H为垂足，若OH=4，MN=6，求：
（1）直径AB的长；
（2）AP的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）连接OM，如图，由OH⊥MN，根据垂径定理得MH=

1

2

MN=3，然后在Rt△OHM中利用勾股定理可计算出OM=5，则AB=10；
（2）根据切线的性质∠OMP=90°，再证明Rt△POM∽Rt△OMH，利用相似比可计算出PO，然后利用PA=OP-OA求解．

解答：解：（1）连接OM，如图，
∵OH⊥MN，
∴MH=NH=

1

2

MN=3，
在Rt△OHM中，∵OH=4，MH=3，
∴OM=

OH2+MH2

=5，
∴AB=10；
（2）∵PM为⊙O的切线，
∴OM⊥PM，
∴∠OMP=90°，
∵MN∥AB，
∴∠POM=∠OMH，
∴Rt△POM∽Rt△OMH，
∴

PO

OM

=

OM

MH

，即

PO

5

=

5

3

，
∴PO=

25

3

，
∴PA=OP-OA=

25

3

-5=

10

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．