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【题目】如图,AB是O的直径,C是O上的一点,过点A作ADCD于点D,交O于点E,且=

(1)求证:CD是O的切线;

(2)若tanCAB=,BC=3,求DE的长.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)连接OC,由=,根据圆周角定理得1=2,而1=OCA,则2=OCA,则可判断OCAD,由于ADCD,所以OCCD,然后根据切线的判定定理得到CD是O的切线;

(2)连接BE交OC于F,由AB是O的直径得ACB=90°,在RtACB中,根据正切的定义得AC=4,再利用勾股定理计算出AB=5,然后证明RtABCRtACD,利用相似比先计算出AD=,再计算出CD=;根据垂径定理的推论由=得OCBE,BF=EF,于是可判断四边形DEFC为矩形,所以EF=CD=,则BE=2EF=,然后在RtABE中,利用勾股定理计算出AE=,再利用DE=AD﹣AE求解.

(1)证明:连接OC,如图,

=

∴∠1=2

OC=OA

∴∠1=OCA

∴∠2=OCA

OCAD

ADCD

OCCD

CDO的切线;

(2)解:连接BE交OC于F,如图,

ABO的直径,

∴∠ACB=90°

在RtACB中,tanCAB==

而BC=3,

AC=4

AB==5,

∵∠1=2

RtABCRtACD

=,即=,解得AD=

=,即=,解得CD=

=

OCBE,BF=EF,

四边形DEFC为矩形,

EF=CD=

BE=2EF=

AB为直径,

∴∠BEA=90°

在RtABE中,

AE===

DE=AD﹣AE==

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