Question

如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y=

k

x

（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN； 
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，

2

+1）．
其中正确结论的有

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：设正方形OABC的边长为a，表示出A，B，C，M，N的坐标，利用SAS得到三角形OCN与三角形OAM全等，结论①正确；利用勾股定理表示出ON与MN，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形OCN与三角形OAM全等，根据三角形MON面积=三角形OND面积+四边形ADNM面积-三角形OAM面积，等量代换得到四边形DAMN与△MON面积相等，结论③正确；过O作OH垂直于MN，如图所示，利用ASA得到三角形OCN与三角形OHN全等，利用全等三角形对应边相等得到CN=HN=1，求出a的值，确定出C坐标，即可对于结论④做出判断．

解答：解：设正方形OABC的边长为a，
得到A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，

k

a

），N（

k

a

，a），
在△OCN和△OAM中，

CN=AM= k a ∠OCN=∠OAM=90° OC=OA=a

，
∴△OCN≌△OAM（SAS），结论①正确；
根据勾股定理，ON=

OC2+CN2

=

a2+( k a )2

=

1

a

a4+k2

，MN=

2(a- k a )2

=

2

a

|a²-k|，
∴ON和MN不一定相等，结论②错误；
∵S_△ODN=S_△OAM，
∴S_△MON=S_△ODN+S_{四边形DAMN}-S_△OAM=S_{四边形DAMN}，结论③正确；
过点O作OH⊥MN于点H，如图所示，

∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，∠CON=∠AOM，
∵∠MON=45°，MN=2，
∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.5°，
∴△OCN≌△OHN（ASA），
∴CN=HN=1，
∴

k

a

=1，即k=a，
由MN=

2

a

|a²-k|得，2=

2

a

|a²-a|，
整理得：a²-2a-1=0，
解得：a=

2±2 2

2

=1±

2

（舍去负值），
∴点C的坐标为（0，

2

+1），结论④正确，
则结论正确的为①③④，
故答案为：①③④

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．