Question

9．如图，∠C=90°，DE垂直平分BC，AF=CE．
（1）请你判断四边形AFEC的形状，并说明理由；
（2）猜想：∠A的大小为多少时，四边形AFEC为菱形？
（3）你认为四边形ACEF可能为正方形吗？

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的性质得出∠1=∠2=∠3，EF∥AC，得出∠F=∠3=∠4=∠5，再利用AAS证明全等三角形得出对应边相等，根据平行四边形的判定即可得出结论；
（2）当∠BAC=60°时，四边形AFEC为菱形，利用等边三角形的判定与性质求出即可；
（3）不可能；若AFEC为正方形，则∠ACE=90°，那么点E与D重合．

解答 解：（1）四边形AFEC为平行四边形；理由如下：
如图所示：
∵FD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠FDB=∠ACB，
∴EF∥AC，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，
∴CE=AE，
又∵AF=CE，
∴AF=AE，
∴∠F=∠3，∴∠F=∠5，
在△EAF和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠5}&{\;}\\{∠3=∠4}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△AEC（AAS）
∴EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠BAC=60°时，四边形AFEC为菱形；理由如下：
∵∠BAC=60°，CE=AE，
∴△EAC是等边三角形，即AC=AE=EC，
又∵由（1）知，四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形；
（3）不可能；
因为若AFEC为正方形，则∠ACE=90°，那么点E与D重合，这不符合题意．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质；证明三角形全等和平行四边形是解决问题的关键．