Question

5．如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．
（1）求证：AC⊥AB；
（2）若点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

Answer 1

分析 （1）根据直径所对的圆周角等于90°，得出∠ADB=90°，再根据三角形内角和定理和已知条件得出∠CAD+∠BAD=90°，从而得出∠BAC=90°，即可得出
AC⊥AB；
（2）根据AA得出△ADC∽△BAC，求出CA的长，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=∠CAD，
∴∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；

（2））∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴AC²=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF=$\sqrt{D{F}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质和圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理．