Question

14．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．
（1）如图1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求证：△ABC为等边三角形；
（2）如图2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的长度；
（3）如图3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC=AB，求∠A的度数．

Answer 1

分析 （1）由BD为∠ABC的平分线，得到∠ABC=2∠DBC，等量代换得到∠ABC=∠C，证得AB=AC，即可得到结论；
（2）如图2，截取BE=AB，连接DE，推出△ABD≌△EBD，根据全等三角形的性质得到∠A=∠DEB，AD=ED，由∠A=2∠C，得到∠DEB=2∠C，求出∠C=∠EDB，得到ED=EC即可得到结论；
（3）过B作BF平分∠DBC交AC于F，根据角平分线的性质得到BD平分∠ABC，∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，由∠ABC=2∠ACB，得到∠ACB=∠ABD=∠CBD，由角平分线的定义得到∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠4=∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，推出△OBC≌△FCB，根据全等三角形的性质得到OC=BF，由AB=OC，得到BF=AB等量代换得到∠ABF=∠AFB，求得AB=AF，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠DBC，
∵∠C=2∠DBC，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：如图2，截取BE=AB，连接DE，在△ABD与△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABD=∠EBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD，
∴∠A=∠DEB，AD=ED，
∵∠A=2∠C，
∴∠DEB=2∠C，
∵∠DEB=∠C=∠EDB，
∴∠C+∠EDB=2∠C，
∴∠C=∠EDB，
∴ED=EC，
∵AB=4.8，
∴CE=BC-BE=3.2，
∴AD=DE=CE=3.2；

（3）解：过B作BF平分∠DBC交AC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴$∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC$，
即∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠ACB=∠ABD=∠CBD，
∵OC平分∠ACB，BF平分∠DBC，
∴∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠4=∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
在△OBC与△FCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠ACB}\\{BC=CB}\\{∠2=∠1}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△FCB，
∴OC=BF，
∵AB=OC，
∴BF=AB，
∵∠ABF=∠ABD+∠3，∠AFB=∠ACB+∠1，
∵∠ABD=∠ACB，∠1=∠3，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴AB=BF=AF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠A=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定还想着，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．