Question

19．如图，直线y=-x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴交于点C，且CO=2AO，直线DE⊥x轴，且DE=AO，过点B作BF⊥BE交x轴于点F．
（1）求F点的坐标；
（2）设P为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象上一点，过点P作PQ∥y轴交直线y=-x+1于点Q，连接AP、AQ．若S_△APQ=2，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-x+1先求得A的坐标，进而求得C、E的坐标，进一步求得B的坐标，根据待定系数法求得直线BE的斜率，根据BF⊥BE设出直线BF的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b，把B的坐标代入求得解析式，令y=0求得F的坐标；
（2）分两种情况表示出PQ的长，然后根据三角形面积公式即可列出方程，解方程即可求得Q点的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=-x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，
∴A（0，1），D（1，0），
∵CO=2AO，DE=AO，
∴CO=2，DE=1，
∴C的横坐标为-2，E（1，-1），
代入y=-x+1得，y=3，
∴B（-2，3），
设直线BE的解析式为y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=3}\\{m+n=-1}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{4}{3}$，
∵BF⊥BE，
∴设直线BF的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+b，
代入B的坐标得，3=$\frac{3}{4}$×（-2）+b，解得b=$\frac{9}{2}$，
∴直线BF的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$，
令y=0，解得x=-6，
∴F（-6，0）；
（2）①若-2＜x＜0时，设Q（t，-t+1），则$P（t，-\frac{6}{t}）$，
∴$PQ=-\frac{6}{t}+t-1$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$（-$\frac{6}{t}$+t-1）×（-t）=2，
解得t=2（舍去），或t=-1，
∴Q（-1，2）；
②若x＜-2时，$PQ=-t+1+\frac{6}{t}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$（-t+1+$\frac{6}{t}$）×（-t）=2，
解得t=$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$（舍去），或t=$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，
∴Q（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$），
综上，点Q的坐标为（-1，2）或（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$）．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积以及分类讨论思想的运用．