Question

11．如图，圆锥的轴截面是边长为9cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长．

Answer 1

分析 求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．

解答 解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ=9π，
以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l=9π，
设展开后的圆心角是n°，则$\frac{nπ•9}{180}$=9π，
解得：n=180，
则∠BAC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
AP=$\frac{1}{2}$AC=4.5，AB=9，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，
由勾股定理得：BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+4．{5}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．
答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是$\frac{9\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度．