Question

6．二次函数y=2$\sqrt{3}$x²的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=2$\sqrt{3}$x²的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积是$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=$\sqrt{3}$BD，设BD=t，则OD=$\sqrt{3}$t，B（t，$\sqrt{3}$t），利用二次函数图象上点的坐标特征得$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t²=$\sqrt{3}$t，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{3}{2}$，则BD=1，OD=$\sqrt{3}$，然后根据菱形性质得BD=$\frac{3}{2}$，OD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，BC=2BD=3，OA=2OD=3$\sqrt{3}$，再利用菱形面积公式计算即可．

解答 解：连结BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA=120°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=$\sqrt{3}$BD，
设BD=t，则OD=$\sqrt{3}$t，
∴B（t，$\sqrt{3}$t），
把B（t，$\sqrt{3}$t）代入y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²得$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$t²=$\sqrt{3}$t，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{3}{2}$，
∴BD=$\frac{3}{2}$，OD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BD=3，OA=2OD=3$\sqrt{3}$，
∴菱形OBAC的面积=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积=$\frac{1}{2}$ab（a、b是两条对角线的长度）．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．