Question

1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的对称轴为直线x=3，且与x轴相交于点D．
（1）求该抛物线解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，记△PCD的面积为S，是否存在点P使得△PCD的面积最大？若存在，求出S的最大值及相应的m值；若不存在请说明理由．
（3）如图2，连接CD得Rt△COD，将△COD沿x轴正方向以某一固定速度平移，记平移后的三角形为△C′O′D′，当点D′到达B时运动停止，直线BC与△C′O′D′的边C′O′、C′D′分别相交于G、H，在平移过程中，当△O′GH变为以O′H为腰的等腰三角形时，求此时BD′的长．

Answer 1

分析 （1）先求出点C，再根据OC=2OA，求出点A坐标，结合对称轴，求出a和b的值即可；
（2）设直线PC与对称轴的交点为E，表示出直线PC的解析式和点E坐标，进一步得到△PCD的面积关于m的二次函数，分析最大值即可；
（3）设O′（t，0），则D′（t+3，0），C′（t，4），且0＜t+3≤8，解得0＜t≤5，表示出BC，O′H，GH的长度，根据题意列出方程求解即可．

解答 解：（1）由抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
∵OC=2OA，
∴OA=2，
∴点A（-2，0），
∵抛物线的对称轴为：x=3，
∴B（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4$，
（2）如图1：

由题意：点D（3，0），
∴OD=3，
设P（m，$-\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+4$），（m＞0，$-\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+4$＞0）
∵C（0，4），
∴直线PC的解析式可表示为：y=$（-\frac{1}{4}m+\frac{3}{2}）x+4$，
设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，$-\frac{3}{4}m+\frac{17}{2}$），
∴DE=$-\frac{3}{4}m+\frac{17}{2}$，
∴S_△PCD=（x_P-x_C）×DE×$\frac{1}{2}$=m（$-\frac{3}{4}m+\frac{17}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$-\frac{3}{8}（m-\frac{17}{3}）^{2}+\frac{289}{24}$，
∴当m=$\frac{17}{3}$时，△PCD的面积最大，为$\frac{289}{24}$；
（3）如图2：

设O′（t，0），则D′（t+3，0），C′（t，4），且0＜t+3≤8，解得0＜t≤5，
∴直线C′D′：y=$-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}t+4$，①
由（1）知点B（8，0），C（0，4），
易求直线BC：y=$-\frac{1}{2}x+4$，②
联立①②求出交点H（$\frac{8}{5}t$，$-\frac{4}{5}t+4$），
当x=t时，则y=$-\frac{1}{2}t+4$，
∴G（t，$-\frac{1}{2}t+4$），
∴O′H=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（-\frac{4}{5}t+4）^{2}}$，
O′G=$-\frac{1}{2}t+4$，
GH=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（\frac{3}{10}t）^{2}}$，
当△O′GH为以O′H为腰的等腰三角形时，分情况讨论：
①当O′H=GH时，$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（-\frac{4}{5}t+4）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（\frac{3}{10}t）^{2}}$，
化简得：11t²-200+500=0，
解得：t₁=$\frac{40}{11}$，t₂=8（舍去），
∴t=$\frac{40}{11}$，
∴D′（$\frac{73}{11}$，0），
∴BD′=$\frac{15}{11}$，
②当O′H=O′G时，
$\sqrt{（\frac{3}{5}t）^{2}+（-\frac{4}{5}t+4）^{2}}$=$-\frac{1}{2}t+4$，
化简得：$\frac{3}{4}$t²-$\frac{12}{5}$t=0
解得：t₁=$\frac{16}{5}$，t₂=0（舍去）
∴D′（$\frac{31}{5}$，0），
BD′=$\frac{9}{5}$，
综上所述，当△O′GH变为以O′H为腰的等腰三角形时，求此时BD′的值为：$\frac{15}{11}$或$\frac{9}{5}$．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，并合理分析会代入求函数解析式，会运用二次函数解决面积最值问题，知道设点并表示线段，结合已知列出方程是解题的关键．