Question

17．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，
（1）中线AD与中位线EF的关系是互相平分；为什么？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）证出DE、DF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥AC，DF∥AB，证出四边形AFDE为平行四边形，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，证出EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EF∥BC，因此AD⊥EF，即可得出结论．

解答 解：（1）中线AD与中位线EF互相平分，理由如下：
∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，
∴DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AFDE为平行四边形，
∴AE与DF互相平分．
故答案为：互相平分；
（2）当AB=AC时，四边形AFDE是菱形；理由如下：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴AD⊥EF，
由（1）得：四边形AFDE为平行四边形，
∴四边形AFDE是菱形．

点评 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形AFDE为平行四边形是解决问题的关键．