Question

8．已知，点M、N分别是正方形ABCD的边CB、CD的延长线上的点，连接AM、AN、MN，∠MAN=135°．（友情提醒：正方形的四条边都相等，即AB=BC=CD=DA；四个内角都是90°，即∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°）
（1）如图①，若BM=DN，求证：MN=BM+DN．
（2）如图②，若BM≠DN，试判断（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥MN，垂足为E．证明△ADN≌△ABM．得到AN=AM，∠NAD=∠MAB．再证明△ADN≌△AEN．得到DN=EN，即可解答．
（2）利用已知条件证明△ABP≌△ADN，得到AP=AN，∠BAP=∠DAN．再证明∠MAN=∠MAP．从而证明△ANM≌△APM，得到MN=MP，由MP=BM+BP=BM+DN，即可得到MN=BM+DN．

解答 解：（1）如图①，作AE⊥MN，垂足为E．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ADN=∠ABM=90°．
在△ADN与△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADN=∠ABM=90°}\\{DN=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ABM．
∴AN=AM，∠NAD=∠MAB．
∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，
∴∠NAD=∠MAB=$\frac{1}{2}$（360°-135°-90°）=67.5°．
∴∠AND=∠AMB=22.5°，
∵AN=AM，∠MAN=135°，AE⊥MN，
∴MN=2NE，∠AMN=∠ANM=22.5°．
在△ADN与△AEN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADN=∠AEN=90°}\\{∠AND=∠ANM=22.5°}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△AEN．
∴DN=EN．
∴MN=2EN=2DN=BM+DN．
（2）如图②，若BM≠DN，①中的结论仍成立，理由如下：
延长BC到点P，使BP=DN，连结AP．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°．
∴∠ADN=90°．
在△ABP与△ADN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABP=∠ADN}\\{BP=DN}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADN．
∴AP=AN，∠BAP=∠DAN．
∵∠MAN=135°，
∴∠MAP=∠MAB+∠BAP=∠MAB+∠DAN=360°-∠MAN-∠BAD=360°-135°-90°=135°．
∴∠MAN=∠MAP．
在△ANM与△APM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AN=AP}\\{∠MAN=∠MAP}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△ANM≌△APM．
∴MN=MP．
∵MP=BM+BP=BM+DN，
∴MN=BM+DN．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．