Question

12．如图，点O为弧AB所在圆的圆心，OA⊥OB，点P在弧AB上，AP的延长线与OB的延长线交于点C，过点C作CD⊥OP于D．若OP=3，PD=1，则OC=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据AO⊥OC，CD⊥OD，得到∠AOC=∠D=90°，求得∠DPC=∠OAC，于是得到∠ACO=∠ACD，证得AC平分∠OCD，根据角平分线定理得到$\frac{OC}{CD}=\frac{OP}{PD}$=3：1，设OC=3k，CD=k，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：∵AO⊥OC，CD⊥OD，
∴∠AOC=∠D=90°，
∴∠OAP+∠ACO=∠DPC+∠DCP=90°，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠APO，∵∠APO=∠DPC，
∴∠DPC=∠OAC，
∴∠ACO=∠ACD，
∴AC平分∠OCD，
∴$\frac{OC}{CD}=\frac{OP}{PD}$=3：1，
设OC=3k，CD=k，
∵OD²+CD²=OC²，
即4²+k²=（3k）²，
∴k=$\sqrt{2}$，
∴OC=$3\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了角平分线定理，垂直的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．