Question

7．如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（图（2）、供画图探究）

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰三角的定义，可得关于b的方程，根据解方程，可得b的值，可得M点坐标；
（3）分成$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°和$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°两种情况求得QB的长，据此即可求解．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，即C（0，3），当y=0时，x=3，即B（3，0），
将B、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（2）如图1，
y=x²-4x+3=（x-2）²-1，即P（2，-1），
对称轴为x=2，设M（2，b），MP=|b+1|，CP=2$\sqrt{5}$，MC=$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$，
当MC=MP时，$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$=|b+1|，化简，得8b=12，解得b=$\frac{3}{2}$，即M（2，$\frac{3}{2}$）；
当MC=CP时，$\sqrt{{2}^{2}+（b-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，化简，得b²-6b-7=0，解得b=7，b=-1（舍），即M（2，7）；
当MP=CP时，|b+1|=2$\sqrt{5}$，化简，得b²+2b-19=0，解得b=-1+2$\sqrt{5}$，b=-1-2$\sqrt{5}$，
M（2，-1+2$\sqrt{5}$），M（2，-1-2$\sqrt{5}$），
综上所述：在该抛物线的对称轴上存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形，点M的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）；（2，7）；（2，-1+2$\sqrt{5}$），M（2，-1-2$\sqrt{5}$）；
（3）如图2，
①当$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．
即$\frac{BQ}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q₁的坐标是（0，0）．
②当$\frac{QB}{AB}$=$\frac{PB}{BC}$，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．
即$\frac{QB}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
QB=$\frac{2}{3}$．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$
∴Q₂的坐标是（$\frac{7}{3}$，0）．
∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q₁（0，0），Q₂（$\frac{7}{3}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正确进行分类求得QB的长是关键．