Question

二次函数y=ax²+bx+c的最大值为

13

6

，其图象经过A（0，-2），B（5，-2）．若点C在x轴上，∠ACB=90°，且CA＜CB，△ABC绕点A逆时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求点B的对应点B′的坐标并判断是否在该二次函数上．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：解：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据旋转的性质，可得旋转角相等，根据互余锐角三角函数的关系，可得∠B′CO的三角函数，根据三角函数的定义，可得点B′的坐标，根据把点的坐标代入函数解析式，可得答案．

解答：解：（1）由题意，得

c=-2 25a+5b+c=-2 4ac-b2 4a = 13 6

解得

a=- 2 3 b= 10 3 c=-2

，
二次函数的解析式是y=-

2

3

x²+

10

3

x-2；
（2）如图：
，
设C点坐标是（x，0），由勾股定理，得
AC²=x²+（-2）²，BC²=（5-x）²+（-2）²，
AC²+BC²=AB²，
即[x²+（-2）²][（5-x）²+（-2）²]=25，
解得x=1或x=4（不符合题意的要舍去），
C（1，0）．
由旋转的性质，得
∠C′AC=∠B′AB，AB′=AB=5．
sin∠CAO=

5

5

，cos∠CAO=

2 5

5

，
sin∠CAC′=2sin∠CAO•cos∠CAO=2×

5

5

×

2 5

5

=

4

5

，
cos∠CAC′=

3

5

，
∴sin∠BOB′=sin∠CAC′=

4

5

，cos∠CAC′=

3

5

．
由锐角的余角的三角函数关系，得
sin∠B′AE=cos∠CAC′=

3

5

，cos∠B′AE=sin∠CAC′=

4

5

，
AD=5×cos∠B′AE=5×

4

5

=4，EO=EA-AO=2．
B′D=5×sin∠B′AE=5×

3

5

=3，
B′（3，2），
把B′（3，2）代入y=-

2

3

x²+

13

6

x-2；
左边=2，右边=-

2

3

×3²+

13

3

×3-2=5，
左边≠右边，
点B′的坐标不在该二次函数上．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用了待定系数法求解析式 利用了点的坐标满足函数解析式，求解B′点的坐标是解题关键．