Question

【题目】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE的延长线于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①AC垂直平分ED；②AE=BE；③CE=2BF；④BE=2EF.其中结论正确的是_______．(填序号)

Answer 1

【答案】①③

【解析】

根据△ABC是等腰直角三角形，得出∠BAC=∠BCA=45°，再由AD∥BC得出AC平分∠EAD，又因为AE=AD所以AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED；延长AF和CB交于点M，连接EM,F、A、B、C四点共圆，F、E、B、M四点共圆，AE=ME>BE；由△AMB≌△CEB, 得出BF=AM，即CE=2BF；作FN∥MB，推出BE<2EF.

解：∵∠ABC=90°，AB=BC

∴△ABC是等腰直角三角形

∴∠BAC=∠BCA=45°

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠BCA

∴∠BAC=∠CAD

∴AC平分∠EAD

∵AE=AD

∴AC垂直平分ED①正确；

延长AF和CB交于点M,连接EM,M、E、D在一条直线上，

由F、A、B、C四点共圆，F、E、B、M四点共圆，

可得∠1=∠2=∠3=∠4，∠FBM=45°+∠1, ∠FMB=45°+∠4,

∴FM=FM,FA=FB, ∠5=∠3=∠4,AE=ME>BE故②不成立；由△AMB≌△CEB,可得CE=AM,F是MA的中点，BF=AM, ∴CE=2BF,故③成立；作FN∥MB,可得BE=BM=2FN,故FN<EF,故BE<2EF,④不成立；故答案为：①③.