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【题目】如图,在ABC中,∠ACB=90°,过B,C两点的⊙OAC于点D,交AB于点E,连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,AE2+BE2的值为 ( )

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20

【答案】C

【解析】

根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE=∠ABC=45°,再证得∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD;根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE=90°,在Rt△EFC中求得EF=4;连接BD,可证得BD为为⊙O的直径,在Rt△BDE中根据勾股定理可得,由此即可得结论.

∵∠EDC=135°,

∴∠ADE=45°,∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°;

∵∠ACB=90°,

∴∠A=45°,

∴∠ADE=∠A=45°,

∴AE=AD,∠AED=90°;

∵EF 为⊙O的直径,

∴∠FCE=90°,

∵∠ABC=∠EFC=45°,CF=

∴EF=4;

连接BD,

∵∠AED=90°,

∴∠BED=90°,

∴BD 为⊙O的直径,

∴BD=4;

Rt△BDE中,,

AE2+BE2=16.

故选C.

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