Question

13．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的两边在坐标轴上，其中点B的坐标为（4，3），过点A的直线AD的解析式为y=2x+3，点P是直线AD上一动点，以P，B，C为顶点作平行四边形PBEC，当对角线PE的值最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 首先连接PE交BC于点M，判断出当MP⊥AD时，MP的值最小；然后应用点斜式，求出直线PE的解析式；最后求出直线AD、直线PE的交点P的坐标是多少即可．

解答 解：如图，连接PE交BC于点M，
∵四边形PBEC是平行四边形，
∴PM=ME=$\frac{1}{2}$PE，
∴当MP⊥AD时，MP的值最小，
即PE⊥AD时，对角线PE的值最小，
∵直线AD的解析式为y=2x+3，且PE⊥AD，
∴直线PE的斜率为-$\frac{1}{2}$，
∴设直线PE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+c，
∵四边形OABC是矩形，且点B的坐标为（4，3），点C的坐标为（4，0），
∴点M的坐标为（4，1.5），
∴-$\frac{1}{2}$×4+c=1.5，
解得c=3.5，
∴直线PE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3.5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-\frac{1}{2}x+3.5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{5}}\\{y=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$
∴当对角线PE的值最小时，点P的坐标是（$\frac{1}{5}$，$\frac{17}{5}$）．

点评 此题主要考查了直线解析式的求法，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质以及平行四边形的性质和应用，求得直线PE的解析式是解题的关键．