Question

如图，矩形ABCD中，AD=

2

，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,等腰三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,直角三角形斜边上的中线,勾股定理

专题：几何图形问题

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF-∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°，
∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，
∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2

2

，
由勾股定理，AB=

AC2-BC2

=

(2 2 )2-( 2 )2

=

6

．
故答案为：

6

．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并求出AB是30°角直角三角形的直角边是解题的关键．