Question

20．如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，H是AD上一动点（H与A，D不重合），且HE⊥AC于点E，HF⊥BD于点F，AG⊥BD于点G，求证：HE+HF=AG．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD=$\frac{1}{2}$BD，由三角形面积关系得出OD•AG=AO•HE+OD•HF=OD（HE+HF），即可得出结论．

解答 解：如图，连接OH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AG，S_△AOD=$\frac{1}{2}$AO•HE+$\frac{1}{2}$OD•HF=$\frac{1}{2}$OD•AG，
∴OD•AG=AO•HE+OD•HF=OD（HE+HF），
∴HE+HF=AG．

点评 本题考查了矩形的对角线相等且互相平分的性质，三角形的面积计算；根据三角形的面积求出OD•AG=AO•HE+OD•HF=OD（HE+HF）是解题的关键．