Question

6．如图，直线AB：y=kx+3过点（-2，4）与抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$交于A、B两点；
（1）直接写出点A、点B的坐标；
（2）在直线AB的下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5．

Answer 1

分析 （1）把点（-2，4）代入直线AB：y=kx+3求得k，再与抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$建立方程求得A、B两点；
（2）设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵把点（-2，4）代入直线AB：y=kx+3，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3．
联立方程得$\frac{1}{2}$x²=-$\frac{1}{2}$x+3，
解得：x=-3或x=2．
∴点A的坐标为（-3，$\frac{9}{2}$），点B的坐标为（2，2）．
（2）过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，
过点A作AM⊥PQ，垂足为M，
过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．

设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．
∴y_P=$\frac{1}{2}$a²，y_Q=-$\frac{1}{2}$a+3．
∵点P在直线AB下方，
∴PQ=y_Q-y_P
=-$\frac{1}{2}$a+3-$\frac{1}{2}$a²
∵AM+NB=a-（-3）+2-a=5．
∴S_△APB=S_△APQ+S_△BPQ
=$\frac{1}{2}$PQ•AM+$\frac{1}{2}$PQ•BN
=$\frac{1}{2}$PQ•（AM+BN）
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$a+3-$\frac{1}{2}$a²）•5
=5．
整理得：a²+a-2=0．
解得：a₁=-2，a₂=1．
当a=-2时，y_P=$\frac{1}{2}$×（-2）²=2．
此时点P的坐标为（-2，2）．
当a=1时，y_P=$\frac{1}{2}$×1²=$\frac{1}{2}$．
此时点P的坐标为（1，$\frac{1}{2}$）．
∴符合要求的点P的坐标为（-2，2）或（1，$\frac{1}{2}$）．

点评 此题考查一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的性质，通过解方程组求两函数交点坐标、用割补法表示三角形的面积等方法，综合性比较强．