Question

16．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若AE=18cm，CD=24cm，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得到$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得到∠CAB=∠BCD，根据等腰三角形的性质得到答案；
（2）设⊙O的半径为R，根据勾股定理列出关于R的方程，解方程求出R，根据圆的面积公式计算即可．

解答 （1）证明：∵AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠CAB=∠BCD，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）解：设⊙O的半径为R，
则OE=18-R，
由勾股定理得，OC²=CE²+OE²，
即R²=12²+（18-R）²，
解得，R=13，
∴⊙O的面积=169πcm²．

点评 本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧以及同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．