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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC.

(1)如图1,若OAB的中点,以O为圆心,OB为半径作⊙OBC于点D,过DDEAC,垂足为E.

①试说明:BD=CD;

②判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由.

(2)如图2,若点O沿OB向点B移动,以O为圆心,以OB为半径作⊙OAC相切于点F,与AB相交于点G,与BC相交于点D,DEAC,垂足为E,已知⊙O的半径长为4,CE=2,求切线AF的长.

【答案】(1)①证明见解析;②直线DE与⊙O相切,理由见解析;(2)AF=3.

【解析】

(1)①连接AD,已知AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角即可得∠ADB=90°,即ADBC;再由等腰三角形三线合一的性质即可证得结论;(2)直线DE与⊙O相切,连接OD,已知AB=AC、OB=OD,根据等腰三角形的性质可得∠ODB=B=C,即可判定ODBC,DEAC可得DEOD,由此即可判定DE与⊙O相切;(2)根据已知条件易证四边形ODEF是矩形,即可得OD=EF=4;AF=x,则AB=AC=x+6,AO =x+2,RtAOF中,利用勾股定理列出方程(x+2)2=x2+42解方程求得x的值,即可求得AF的长.

(1)①连接AD,

AB为⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,即ADBC,

AB=AC,ADBC,

BD=CD;

②直线DE与⊙O相切,

理由:连接OD,

AB=AC,OB=OD,

∴∠ODB=B=C,

ODBC,

DEAC,

DEOD,

DE与⊙O相切;

(2)(1)同理得,DE与⊙O相切,

连接OF,

EF与⊙O相切,DEAC,

∴∠ODE=OFE=EDF=90°,即四边形ODEF是矩形,

OD=EF=4,

AF=x,则AB=AC=x+6,AO=x+6﹣4=x+2,

RtAOF中,

(x+2)2=x2+42

解得,x=3,

AF=3.

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