【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为菱形,点 C 的坐标为(4,0),∠AOC = 60°,垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,设直线 l 与 菱形 OABC 的两边分别交与点 M、N(点 M 在点 N 的上方).
(1)求 A、B 两点的坐标;
(2)设 OMN 的面积为 S,直线 l 运动时间为 t 秒(0 ≤t ≤6 ),试求 S 与 t 的函数表达 式;
(3)在题(2)的条件下,t 为何值时,S 的面积最大?最大面积是多少.
【答案】(1)A(2,),B(6,
);(2)当
时,
;当
,
;当
时,
;(3)
秒时,
.
【解析】
(1)根菱形性质得出OA=AB=BC=CO=4,过A作AD⊥OC于D,求出AD、OD,即可得出答案;
(2)依题意可分为三种情况:①当0≤t≤2时,直线l与OA、OC两边相交,②当2<t≤4时,直线l与AB、OC两边相交,③当4<t≤6时,直线l与AB、BC两边相交,画出图形求出即可;
(3)根据(2)中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出S的最大值及对应的t的值.
解:(1)∵四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),
∴
过点A作于D.
∵
∴,
∴A(2,),B(6,
).
(2)∵,
∴,
直线l从y轴出发,沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况:
①当时,直线l与直线OA,OC两边相交,
∴,
则;
②当时,直线l与AB、OC两边相交,
则;
③当时,直线l与AB、BC两边相交,
设直线l与x轴相交于H点,
∵,
∴;
综上所述:,
(3)由(2)知,当时,
;
当时,
;
∵的对称轴为
,
∴函数,当
时,S随
的增大而减小,
即时,S取得最大值:
,
综上所述,当秒时,
.
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【题目】下图为某小区的两幢1O层住宅楼,由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层,每层的高度为3m,两楼间的距离AC=30m.现需了解在某一时段内,甲楼对乙楼的采光的影响情况.假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC=h,太阳光线与水平线的夹角为α.
(1)用含α的式子表示h;
(2)当α=30°时,甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层?从此时算起,若α每小时增加10°,几小时后,甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别是AC、AB的中点,点F在BC的延长线上,且∠CDF=∠A.
(1)求证:四边形DECF是平行四边形;
(2)若∠A=30°,写出图中所有与FD长度相等的线段.
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【题目】如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm,AD=8cm,直线 EF 从点 A 出发沿 AD 方向匀速运动,速度是 2cm/s,运动过程中始终保持 EF∥AC.F 交
AD 于 E,交 DC 于点 F;同时,点 P 从点 C 出发沿 CB 方向匀速运动,速度是 1cm/s,连接 PE、PF,设运动时间 t(s)(0<t<4).
(1)当 t=1 时,求 EF 长;
(2)求 t 为何值时,四边形 EPCD 为矩形;
(3)设△PEF 的面积为 S(cm2),求出面积 S 关于时间 t 的表达式;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻使 S△PC F:S 矩形 ABCD=3:16?若存在, 求出 t 的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在等边中,
,点
在
上,且
,点
是
上一动点,连接
,将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
,若要使点
恰好在
上,则
的长为().
A. 4B. 5C. 6D. 8
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【题目】如图,PB与⊙O相切于点B,过点B作OP的垂线BA,垂足为C,交⊙O于点A,连结PA,AO,AO的延长线交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若tan∠BAD=, 且OC=4,求PB的长.
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【题目】为监控某条生产线上产品的质量,检测员每隔相同时间抽取一件产品,并测量其尺寸(),在一天的抽检结束后,检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
尺寸 | 8.72 | 8.88 | 8.92 | 8.93 | 8.94 | 8.96 | 8.97 | 8.98 | 9.03 | 9.04 | 9.06 | 9.07 | 9.08 |
按照生产标准,产品等级规定如下:
尺寸(单位: | 产品等次 |
特等品 | |
优等品 | |
合格品 | |
| 非合格品 |
注:在统计优等品个数时,将特等品计算在内;在统计合格个数时,将优等品(含特等品)算在内,
(1)已知此次抽检的合格率为,请判断编号为15的产品是否为合格品,并说明理由;
(2)已知此次及抽检出的优等品尺寸的中位数为.
①__________;
②将这些优等品分成两组,一组尺寸大于,另一种尺寸不大于
,从这两组中各随机抽取1件进行复检,求抽到的2件产品都是特等品的概率.
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【题目】周末,小明与小亮两个人打算骑共享单车骑行出游,两人打开手机APP进行选择,已知附近共有3种品牌的5辆车,其中A品牌与B品牌各有2辆,C品牌有1辆,手机上无法识别品牌,且有人选中车后其他人无法再选.
(1)若小明首先选择,则小明选中A品牌单车的概率为 ;
(2)求小明和小亮选中同一品牌单车的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法给出分析过程)
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【题目】如图,在A、B 两地之间要修一条笔直的公路,从A地测得公路走向是北偏东48°,A,B两地同时开工,若干天后公路准确接通,若公路AB长8千米,另一条公路BC长是6千米,且BC的走向是北偏西42°,则A地到公路BC的距离是( )
A. 6千米 B. 8千米 C. 10千米 D. 14千米
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