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【题目】如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cmAD=8cm,直线 EF 从点 A 出发沿 AD 方向匀速运动,速度是 2cm/s,运动过程中始终保持 EFACF

AD E,交 DC 于点 F;同时,点 P 从点 C 出发沿 CB 方向匀速运动,速度是 1cm/s,连接 PEPF,设运动时间 ts)(0<t<4).

(1) t=1 时,求 EF 长;

(2) t 为何值时,四边形 EPCD 为矩形;

(3)PEF 的面积为 Scm2),求出面积 S 关于时间 t 的表达式;

(4)在运动过程中,是否存在某一时刻使 SPC FS 矩形 ABCD=3:16?若存在, 求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)EF;(2) t 时,四边形 EPCD 为矩形;(3)S=﹣t2+9t(0<t<4);(4)存在,当 t=2 时,SPCFS 矩形 ABCD=3:16.

【解析】

(1)由勾股定理知AC=10,由题意得AE=2,DE=6,根据EF∥AC知△DEF∽△DAC,据此得代入计算;

(2)由DE∥CP且∠D=∠CDE=CP时,四边形EPCD为矩形,据此求解

(3)证△DEF∽△DAC,据此求得,根据S=S梯形DEPC-S△DEF-S△PCF可得函数解析式;

(4)由S矩形ABCD=AB×AD=48,且S△PCF:S矩形ABCD=3:16S△PCF=9,再根据可得关于t的方程,解之可得.

解:(1)∵AB=6cmAD=8cm

AC=10cm

t=1 时,AE=2, DE=6,

EFAC

∴△DEF∽△DAC

,即

解得:

2)由题意知 AE=2tCPt DE=8﹣2t

四边形 EPCD 是矩形,

DECP,即 82tt 解得 t

故当 t时,四边形 EPCD 为矩形;

(3)∵EFAC

∴△DEF∽△DAC

,即

解得:

CFCDDF=6﹣(6﹣t)=t

SS 梯形 DEPCSDEFSPCF

×(8﹣2t+t)×6﹣ ×(8﹣2t)×(6﹣t)﹣×t×t

=﹣t2+9t

S=﹣t2+9t(0<t<4);

(4)存在,

S 矩形 ABCDAB×AD=48,且 SPCFS 矩形 ABCD=3:16,

SPCF=9,

SPCF×t×tt2

t2=9,

解得:t2 t=﹣2(舍),

t=2时,SPCFS 矩形 ABCD=3:16.

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购进数量(件)

购进所需费用(元)

第一次

30

40

3800

第二次

40

30

3200

1)求两种商品每件的进价分别是多少元?

2)商场决定种商品以每件30元出售,种商品以每件100元出售.为满足市场需求,需购进两种商品共1000件,且种商品的数量不少于种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.

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(3)(2)的条件下,连接PQ,△APDDPQ是否相似?请说明理由;

(4)根据(1)(2)的解答过程,你能否将两三角板改为更一般的三角形,使得(1)中的结论仍然成立?若能,请说明两个三角形应满足的条件;若不能,请简要说明理由.

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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