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如图,已知:在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a、b是关于x的一元二次方程x2+4(c+2)=(c+4)x的两个根,点D是以C为圆心,CB为半径的圆与AB的交点.
(1)证明:△ABC是直角三角形;
(2)若
a
b
=
3
4
,求AB的长;
(3)在(2)的条件下求AD长.
(1)证明:依题意,得a+b=c+4,ab=4(c+2)(1分)
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=(c+4)2-2×4(c+2)=c2+8c+16-8c-16=c2
∴△ABC是直角三角形.(3分)

(2)设a=3k,b=4k,从而c=5k(k>0).
代入a+b=c+4,得k=2;
∴a=6,b=8,c=10.(5分)

(3)过C作CE⊥AB于E.
则CE=
ab
c
=
24
5
,BE=
BC2-CE2
=
62-(
24
5
)
2
=
18
5

由垂径定理,得BD=2BE=
36
5

故AD=10-BD=10-7.2=2.8.(9分)
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