Question

【题目】在直线l上摆放着三个正方形

(1)如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a，b斜着放置的正方形的面积S＝　 　，两个直角三角形的面积和为　 　；(均用a，b表示)

(2)如图2，小正方形面积S1＝1，斜着放置的正方形的面积S＝4，求图中两个钝角三角形的面积m1和m2，并给出图中四个三角形的面积关系；

(3)图3是由五个正方形所搭成的平面图，T与S分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T与S的关系式，并利用(1)和(2)的结论说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a2+b2，ab；（2）四个三角形的面积相等；（3）S＝T．

【解析】

（1）根据题意，可以证得中间的两个三角形全等，再根据勾股定理，即可得出答案；
（2）求出两个钝角三角形的底边和高，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）利用勾股定理分别求出S和T的值，然后比较求解即可．

（1）如图1所示：∵三个四边形均为正方形，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°，AC＝CE，

∴∠BAC＝∠DCE，

∵∠ABC＝∠CDE＝90°，

∴△ABC≌△CDE，

∴BC＝DE＝b，AB＝CD＝a，

∴S△ABC+S△CDE＝ab，

同时AC2＝AB2+BC2，

∵两个正方形的面积分别为a2，b2，

∴S＝a2+b2，

（2）如图2所示，a＝1，斜正方形边长c＝2，b＝，

由30°角和60°角易求出面积为m1的三角形底边长为1，高为，故m1＝；

面积为m2的三角形边长为，高为1，故m2＝．

结论：四个三角形的面积相等．

（3）S＝T．如图3所示，首先由（2）知：T＝S△ABC，

设小正方形边长为a，大正方形边长为b，

由（1）知：S＝a2+b2，又图中四个小三角形的面积m＝ab，

S△ABC＝a2+b2+（a2+b2）+4×ab﹣（a+b）（2a+2b）＝a2+b2＝S，

∴S＝T．