Question

4．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．
（1）若BF⊥AE，
①求证：BF=AE；
②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；
（2）若正方形的边长为4，且BF=AE，求BO的长．

Answer 1

分析 （1）①如图1①，要证BF=AE，只需证△ABE≌△BCF，只需证到∠BAE=∠CBF即可；
②延长AD，交射线BM于点G，如图1②，由△ABE≌△BCF可得BE=CF，由此可得CF=DF，从而可证到△DGF≌△CBF，则有DG=BC，从而可得DG=AD，然后运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；
（2）可分点F在CD上和点F在AD上两种情况进行讨论．当点F在CD上时，如图2①，易证Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），则有∠BAE=∠CBF，由此可证到∠AOB=90°，然后在Rt△ABE中，运用面积法就可求出BO的长；当点F在AD上时，如图2②，易证Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），则有∠BAE=∠ABF，根据等角对等边可得OB=OA，根据等角的余角相等可得∠AEB=∠EBF，根据等角对等边可得OB=OE，即可得到OA=OB=OE，只需求出AE的长就可解决问题．

解答 解：（1）①如图1①，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF=AE；
②OD=AB．
证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，

∵△ABE≌△BCF，
∴BE=CF．
∵E为BC的中点，
∴CF=BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$DC，
∴CF=DF．
∵DG∥BC，
∴∠DGF=∠CBF．
在△DGF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGF=∠CBF}\\{∠DFG=∠CFB}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG=BC，
∴DG=AD．
∵BF⊥AE，
∴OD=$\frac{1}{2}$AG=AD=AB；

（2）①若点F在CD上，如图2①，

在Rt△ABE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠AOB=90°．
∵∠ABE=90°，AB=4，BE=2，
∴AE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$AE•BO，
∴BO=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
②若点F在AD上，如图2②，

在Rt△ABE和Rt△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴∠BAE=∠ABF，
∴OB=OA．
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠ABF+∠EBF=90°，
∴∠AEB=∠EBF，
∴OB=OE，
∴OA=OB=OE．
∵∠ABE=90°，AB=4，BE=2，
∴AE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$．
综上所述：BO的长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等角对等边、等角的余角相等、勾股定理等知识，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决第（1）②小题的关键，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键．