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【题目】如图,抛物线与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

(1)求点A、点B、点C的坐标;

(2)求直线BD的解析式;

(3)当点P在线段OB上运动时,直线l交BD于点M,试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形;

(4)在点P的运动过程中,是否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(﹣1,0),B(4,0)C(0,2);(2);(3)m=2;(4)Q的坐标为(3,2),(8,﹣18),(﹣1,0).

【解析】

试题分析:(1)根据函数解析式列方程即可得到结论;

(2)由点C与点D关于x轴对称,得到D(0,﹣2),解方程即可得到结论;

(3)如图1所示:根据平行四边形的性质得到QM=CD,设点Q的坐标为(m,),则M(m,),列方程即可得到结论;

(4)设点Q的坐标为(m,),分两种情况:①当∠QBD=90°时,根据勾股定理列方程求得m=3,m=4(不合题意,舍去),②当∠QDB=90°时,根据勾股定理列方程求得m=8,m=﹣1,于是得到结论.

试题解析:(1)∵令x=0得;y=2,∴C(0,2).

∵令y=0得:,解得:A(﹣1,0),B(4,0).

(2)∵点C与点D关于x轴对称,∴D(0,﹣2).

设直线BD的解析式为y=kx﹣2.

∵将(4,0)代入得:4k﹣2=0,∴k=直线BD的解析式为

(3)如图1所示:

∵QM∥DC,∴当QM=CD时,四边形CQMD是平行四边形.

设点Q的坐标为(m,),则M(m,),∴,解得:m=2,m=0(不合题意,舍去),∴当m=2时,四边形CQMD是平行四边形;

(4)存在,设点Q的坐标为(m,),∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形,∴分两种情况讨论:

①当∠QBD=90°时,由勾股定理得:,即,解得:m=3,m=4(不合题意,舍去),∴Q(3,2);

②当∠QDB=90°时,由勾股定理得:,即,解得:m=8,m=﹣1,∴Q(8,﹣18),(﹣1,0)

综上所述:点Q的坐标为(3,2),(8,﹣18),(﹣1,0).

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