Question

17．已知α、β是关于x的一元二次方程的x²+（2m+3）x+m²=0两个不相等的实数根，且满足α+β+αβ=0，则m的值是3．

Answer 1

分析 由方程有两个不相等的实数根，可得出△=12m+9＞0，解之即可得出m的取值范围，由根与系数的关系结合α+β+αβ=0，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由m的取值范围可确定m的值．

解答 解：∵关于x的一元二次方程的x²+（2m+3）x+m²=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+3）²-4m²=12m+9＞0，
解得：m＞-$\frac{3}{4}$．
∵α、β是关于方程x²+（2m+3）x+m²=0的两个实数根，
∴α+β=-（2m+3），αβ=m²．
∵α+β+αβ=0，
∴m²-2m-3=0，
解得：m₁=-1，m₂=3．
∵m＞-$\frac{3}{4}$，
∴m=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根与系数的关系结合α+β+αβ=0，列出关于m的一元二次方程是解题的关键．