Question

【题目】已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．

（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．

（2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗?如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

（3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）24；（2）是，这个定值是35，理由见解析；（3）定值为，证明见解析.

【解析】

（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x-1，x+1，上下两数分别为x-6，x+6，进而表示出十字差，化简即可得证；
（3）设十字星中心的数为y，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证．

解：（1）根据题意得：，

故答案为：24；

（2）是，这个定值是35．理由如下：

设十字星中心的数为，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，

十字差为：．

故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；

(3)定值为，证明如下：

设设十字星中心的数为y，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，

十字差为：，

故这个定值为．