Question

【题目】△ABC中，BC=AC=5，AB=8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．

（1）当t=0时，求点C的坐标；
（2）当t=4时，求OD的长及∠BAO的大小；
（3）求从t=0到t=4这一时段点D运动路线的长；
（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

∵BC=AC，CD⊥AB，

∴D为AB的中点，

∴AD= AB=4．

在Rt△CAD中，CD= =3，

∴点C的坐标为（3，4）

（2）

解：如图2，

当t=4时，AO=4，

在Rt△ABO中，D为AB的中点，OD= AB=4，

∴OA=OD=AD=4，

∴△AOD为等边三角形，

∴∠BAO=60°

（3）

解：如图3，

从t=0到t=4这一时段点D运动路线是弧DD1，其中，OD=OD1=4，

又∵∠D1OD=90°﹣60°=30°，

∴

（4）

解：分两种情况：①设AO=t1时，⊙C与x轴相切，A为切点，如图4．

∴CA⊥OA，

∴CA∥y轴，

∴∠CAD=∠ABO．

又∵∠CDA=∠AOB=90°，

∴Rt△CAD∽Rt△ABO，

∴ ，即 = ，

解得t1= ；

②设AO=t2时，⊙C与y轴相切，B为切点，如图5．

同理可得，t2= ．

综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为 或

【解析】（1）先由BC=AC，CD为AB边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质得出D为AB的中点，则AD= AB=4，然后在Rt△CAD中运用勾股定理求出CD=3，进而得到点C的坐标；（2）如图2，当t=4时即AO=4，先由D为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD= AB=4，则OA=OD=AD=4，判定△AOD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出∠BAO=60°；（3）从t=0到t=4这一时段点D运动路线是弧DD1 ， 由∠D1OD=30°，OD=4，根据弧长的计算公式求解；（4）分两种情况：①⊙C与x轴相切，根据两角对应相等的两三角形相似证明△CAD∽△ABO，得出 ，求出AO的值；②⊙C与y轴相切，同理，可求出AO的值．