Question

【题目】图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.

(1)图②有______个三角形；图③有______个三角形；

(2)按上面的方法继续下去，第n个图形中有_________个三角形(用n的代数式表示).

(3)是否存在正整数n，使得第n个图形中存在2019个三角形?如果存在，请求出n的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）5，9；（2）4n﹣3；（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）根据图形的变化可发现每个图形比前一个图形多4个三角形，结合图①有一个三角形即可得出结论；（2）根据图形的变化可发现每个图形比前一个图形多4个三角形，而图形①只有一个三角形，用含n的代数式表示出结论即可；（3）结合（2）的结论，令三角形的个数等于2019，看n的值是否为整数，是的话则第n个图形就是所求，如果不是，则不存在．

解：（1）图②中有5个三角形，图③中有9个三角形．

故答案为：5，9；

（2）依题意得：n＝1时，有1个三角形；

n＝2时，有5个三角形；

n＝3时，有9个三角形；

∴当n＝n时，有（4n﹣3）个三角形．

故答案为：4n﹣3；

（3）不存在

假设存在正整数n，

使得第n个图形中有2019个三角形，

根据题意得：4n﹣3＝2019，

解得：n＝，不是整数，

故不存在正整数n，使得第n个图形中有2019个三角形