Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线AB:y= -+b交y轴于点A(0,1),交x轴于点B,直线x=1交AB于点D,交x轴于点E,P是直线x=1上的一动点，且在点D的上方，设P(1,n).

(1)求直线ABd解析式和点B的坐标；

(2)求△ABP的面积(用含n的代数式表示)；

(3) 当 =2时,

①求出点P的坐标；②在①的条件下，以PB为边在第一象限作等腰直角△BPC，直接写出点C的坐标．

Answer 1

【答案】(1) y=－x+1, 点B（3，0）;(2) n－1;(3)①P(1，2)；②（3，4）或（5，2）或（3，2）.

【解析】

(1)将点A的坐标代入直线AB的解析式可求得b值，可得AB的解析式，继而令y=0，求得相应的x值即可得点为B的坐标；

(2)过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，再求得△BPD和△PAD的面积，二者的和即为△ABP的面积；

(3)①当S△ABP=2时，代入①中所得的代数式，求得n值，即可求得点P的坐标；

②分P是直角顶点且BP=PC、B是直角顶点且BP=BC 、C是直角顶点且CP=CB三种情况求点C的坐标即可．

(1)∵y=－x+b经过A(0，1)，∴b=1，

∴直线AB的解析式是y=－x+1，

当y=0时，0=－x+1，解得x=3，∴点B(3，0)；

(2)过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，

∵x=1时，y=－x+1=， P在点D的上方，∴PD=n－，

S△APD=PDAM=×1×(n－)=n－，

由点B(3，0)，可知点B到直线x=1的距离为2，

即△BDP的边PD上的高长为2，

∴S△BPD=PD×2=n－，

∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n－+n－=n－1；

(3)①当S△ABP=2时，n－1=2，解得n=2，∴点P(1，2)；

②∵E(1，0)，

∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°．

第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，

过点C作CN⊥直线x=1于点N．

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°，

在△CNP与△BEP中，

，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4，

∴C(3，4)；

第2种情况，如图2，∠PBC=90°，BP=BC，

过点C作CF⊥x轴于点F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°，

在△CBP与△PBE中，

，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5，

∴C(5，2)；

第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=CB，

∴∠CPB=∠CBP=45°，

∵∠EPB=∠EBP=45°，

∴∠PCB=∠CBE=∠EPC=90°，

∴四边形EBCP为矩形，

∵CP=CB，

∴四边形EBCP为正方形，

∴PC=CB=PE=EB=2，

∴C(3，2)；

∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是(3，4)或(5，2)或(3，2)．