Question

4．已知某大型超市今年在销售某种水果时，1～6月份的销售单价y₁（元/千克）与时间x（月）的关系如表：

x	1	2	3	4	5	6
y1	60	30	20	15	12	10

7～10月份的销售单价y₂（元/千克）与时间x（月）满足函数关系：y₂=x²+bx+c，其图象如图．今年1～6月份的月销量z₁（万千克）与时间x（月）满足关系式：z₁=-x²+6x；而7～10月份的月销量一直稳定在8万千克．
（1）请观察题目中的表格及图象，直接写出y₁（元/千克）与时间x（月）的函数关系式及y₂（元/千克）与时间x（月）的函数关系式．
（2）求出该种水果今年1～10月哪个月的销售额最大？最大销售额为多少万元？
（3）进入11月后，商场决定将销售单价在取得最大月销售额时的单价的基础上提高2a%，预测月销售量将在取得最大月销售额时的销售量的基础上下降0.5a%，若要使该种水果11月份的销售额达到360万元，求出a的最小整数值（a＜100）？（参考数据：$\sqrt{6}$≈2.45；$\sqrt{7}$≈2.65；$\sqrt{8}$≈2.83）

Answer 1

分析 （1）根据图表中x、y的乘积是定值60可知此函数是反比例函数，然后写出即可；
（2）根据销售额=单价×销售量求出上半年的销售额，然后根据一次函数的增减性求出上半年最大销售额的月份及最大销售额，根据二次函数的增减性求出下半年的最大销售额与月份，两者比较即可得解；
（3）先求出去年销售额时的最大时的单价，然后根据销售额=单价×销售额表示出销售额总和，列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵1×60=60，2×30=60，3×20=60，4×15=60，5×12=60，6×10=60，
∴y₁与x成反比例函数关系，
故关系式为y₁=$\frac{60}{x}$，
由图可知，抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2}$=4，
解得b=-8，
x=0时，y=c=20，
所以，y₂=x²-8x+20；

（2）设销售额为W，则上半年：W₁=y₁•Z₁=$\frac{60}{x}$•（-x²+6x）=-60x+360，
∵1≤x≤6，
∴当x=1时，即1月份的销售额取得最大值，最大值为-60+360=300万元，
下半年：W₂=y₂•10=10（x²-8x+20）=10（x-4）²+40，
根据二次函数的性质，x＞4时，y随x的增大而增大，
∵7≤x≤10，
∴当x=10时，即10月份销售额取得最大值，最大值为=（10-4）²+40=400万元，
∵300＜400，
∴去年10月的销售额最大，最大销售额是400万元；

（3）去年7月份销售单价为y₂=-7²+4×7+41=-49+28+41=20元，
根据题意得，20（1+3a%）×8（1-0.5a%）+（20×3.2）×10（1-0.5a%）=860，去年10月份销售单价为y₂=10²-8×10+20=40元，
根据题意得，40（1+2a%）×8（1-0.5a%）=360，
整理得，8（a%）²-12a%+1=0，
所以，a%=$\frac{12±\sqrt{112}}{16}$=$\frac{12±10.6}{16}$，
∴a%=1.42或a%=0.09，
∴a=14或a=9，
最大整数值约为14．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求函数的判定与求解，一次函数的增减性，二次函数的增减性，一元二次方程的解法等知识，运用二次函数解决实际问题是中考中热点题型，同学们应重点掌握．