Question

【题目】类比特殊四边形的学习，我们可以定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

探索体验

（1）如图①，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．

（2）如图②，若AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，那么四边形ABCD是“等对角四边形”吗？试说明理由．

尝试应用

（3）如图③，在边长为6的正方形木板ABEF上裁出“等对角四边形”ABCD，若已经确定DA=4，∠DAB=60°，是否在正方形ABEF内（包括边上）存在一点点C，使四边形ABCD以∠DAB=∠BCD为等对角的四边形的面积最大？若存在，试求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠C=130°；（2）证明见解析；（3）S四边形ABCD=.

【解析】

（1）已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，根据定义即可求得∠D的度数，再由四边形内角和定理即可求得∠C的度数；（2）连接BD，由AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，可得∠ABD=∠ADC，△ABD与△CBD不相似，即∠A≠∠C，则可证得结论；（3）连接BD，由当∠DAB=∠BCD=60°时，四边形ABCD是“等对角四边形”，可得此时点C在BD为弦的 上，即可得要使四边形ABCD的面积最大，则点C在边BE上，然后过点D作DH⊥AB于点H，作DM⊥BC于点M，利用勾股定理求解即可求得答案．

（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，

∴∠D=∠B=80°，

∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°；

（2）证明：如图2，连接BD，

∵AB=AD，CB=CD，

∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，

∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，

∴∠ABC=∠ADC，

∵AB=AD=a，CB=CD=b，且a≠b，且BD=BD，

∴△ABD与△CBD不相似，

∴∠A≠∠C，

∴四边形ABCD是“等对角四边形”．

（3）如图3，连接BD，

当∠DAB=∠BCD=60°时，四边形ABCD是“等对角四边形”，

此时点C在BD为弦的上，

要使四边形ABCD的面积最大，则点C在边BE上，

过点D作DH⊥AB于点H，作DM⊥BC于点M，

在Rt△ADH中，∠DAH=60°，AD=4，

∴AH=2，DH=2，

∴BH=AB﹣AH=4，

∵四边新DHBM是矩形，

∴BM=DH=2，DM=BH=4，

在Rt△DMC中，∠DCM=60°，

∴CM=DM=，

∴BC=BM+CM=2+=，

∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×6×2+××4=．