Question

5．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是射线BA、CB、AC上一点，且AD=BE=CF，连接DE、EF、DF．
（1）求证：∠BDE=∠CEF；
（2）试判断△DEF的形状，并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边△ABC的性质得出∠EBD=∠FCE，DB=CE，证得△BED≌△CFE，进而得证；
（2）根据等边△ABC的性质，证得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等边三角形．

解答 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
又∵∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠EBD=∠FCE，DB=CE，
在△BED与△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=EC}\\{∠DBE=∠ECF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFE（SAS），
∴∠BDE=∠CEF；
（2）同理可得：△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一个等边三角形．

点评 此题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解题关键．