Question

8．如图1，已知：抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=$\frac{1}{2}$x-2，连接AC．
（1）B、C两点坐标分别为B（4，0）、C（0，-2），抛物线的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）若点P是抛物线上的一个动点，当点P在直线BC的下方时，△PBC的面积是否有最大值？若有，试求出点P的坐标和△PBC的最大面积；若没有，请说明理由；
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用直线解析式分别求出B、C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t-2），则Q（t，$\frac{1}{2}$t-2），则可表示出PQ=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t，根据三角形面积公式得S_△PBC=-t²+4t，然后利用二次函数的性质可确定△PBC的最大面积和此时P点坐标；
（3）分类讨论：如图2，四边形DEFG为△ABC的内接矩形，DE交y轴于M，设DG=m，则OM=m，CM=2-m，证明△CDE∽△CAB，利用相似比得到DE=5-$\frac{5}{2}$m，则根据矩形的面积公式得到S_矩形DEFG=-$\frac{5}{2}$m²+5m，根据二次函数的性质得到矩形DEFG的面积最大时，DG=1，DE=$\frac{5}{2}$，再求出对应的F点和G点坐标即可；利用勾股定理的逆定理证明△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，当矩形DEFG的顶点E与点C重合时，如图3，设DG=a，证明△ADG∽△ACB，利用相似比得到AD=$\frac{1}{2}$a，则DE=$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$a，利用矩形的面积公式得到S_矩形DEFG=-$\frac{1}{2}$a²+$\sqrt{5}$a，根据二次函数的性质，当矩形DEFG的面积最大时DG=$\sqrt{5}$，然后求出此时G点坐标即可．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{1}{2}$x-2=0，解得x=4，则B（4，0），
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x-2=-2，则C（0，-2），
把B（4，0），C（0，-2）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{8+4b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
故答案为4，0；0，-2；y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）△PBC的面积有最大值．
作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，
设P（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t-2），则Q（t，$\frac{1}{2}$t-2），
PQ=$\frac{1}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
所以S_△PBC=$\frac{1}{2}$•4•PQ=-t²+4t=-（t-2）²+4，
当t=2时，△PBC的面积最大，最大面积为4，此时P点坐标为（2，-3）；
（3）能．
如图2，四边形DEFG为△ABC的内接矩形，DE交y轴于M，
设DG=m，则OM=m，CM=2-m，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CM}{CO}$，即$\frac{DE}{5}$=$\frac{2-m}{2}$，解得DE=5-$\frac{5}{2}$m，
∴S_矩形DEFG=DE•DG=（5-$\frac{5}{2}$m）m=-$\frac{5}{2}$m²+5m=-$\frac{5}{2}$（m-1）²+$\frac{5}{2}$，
当m=1时，矩形DEFG的面积最大，最大值为$\frac{5}{2}$，此时DG=1，DE=$\frac{5}{2}$，
当y=-1时，$\frac{1}{2}$x-2=-1，解得x=2，则E（2，-1），
∴此时F（2，0），G（-$\frac{1}{2}$，0）；
∵AC²=1²+2²=5，BC²=2²+4²=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，
当矩形DEFG的顶点E与点C重合时，如图3，设DG=a，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ACB，
∴$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{a}{2\sqrt{5}}$=$\frac{AD}{\sqrt{5}}$，解得AD=$\frac{1}{2}$a，
∴DE=AC-AD=$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$a，
∴S_矩形DEFG=DE•DG=（$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$a）a=-$\frac{1}{2}$a²+$\sqrt{5}$a=-$\frac{1}{2}$（a-$\sqrt{5}$）²+$\frac{5}{2}$，
当a=$\sqrt{5}$时，矩形DEFG的面积最大，最大值为$\frac{5}{2}$，此时DG=$\sqrt{5}$，
∵DG∥BC，
∴此时DG为△ACB的中位线，
∴G（$\frac{3}{2}$，0），
综上所述，当矩形DEFG的面积最大时，在AB边上的矩形顶点的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）或（2，0），G（-$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握矩形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用勾股定理和相似比计算线段的长；理解坐标与图形的性质．