Question

【题目】如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），且经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点B、C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点M在第四象限内且在抛物线上，有OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M点坐标为（，﹣）．

【解析】【试题分析】

（1）先求出y=x﹣3与x轴的交点B的坐标为（3，0），与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），A点坐标为（﹣1，0），用交点式设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入解析式得，﹣3=a×1×（﹣3），解得，a=1，则y=（x+1）（x﹣3），化为一般式得：y=x2﹣2x﹣3，

（2）由于OD过原点，则OD为正比例函数的图像，设OD的解析式为y=kx，

因为OM⊥BC，BC解析式为y=x-3，根据两条垂直的一次函数的k值互为相反数，得：

kOD=﹣1，则OD的解析式为y=﹣x，将y=x2﹣2x﹣3和y=﹣x组成方程组得，

解得，x1=，x2=（不合题意，舍去），

把x1=代入y=﹣x得，y1=﹣，

即M点坐标为（，﹣）．

【试题解析】

（1）∵y=x﹣3与x轴的交点B的坐标为（3，0），与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），A点坐标为（﹣1，0），

∴设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

将C（0，﹣3）代入解析式得，

﹣3=a×1×（﹣3），

解得，a=1，

则二次函数解析式为y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣2x﹣3，

（2）∵OD过原点，

∴设OD的解析式为y=kx，

∵OM⊥BC，BC解析式为y=x﹣3，

∴kOD=﹣1，

则OD的解析式为y=﹣x，

将y=x2﹣2x﹣3和y=﹣x组成方程组得，

整理得，x2﹣x﹣3=0，

解得，x1=，x2=（不合题意，舍去），

把x1=代入y=﹣x得，

y1=﹣，

∴M点坐标为（，﹣）．