Question

如图，一次函数y=-

3

4

x+3的图象交x轴、y轴于A、B两点，点C在直线AB上，其纵坐标为

3

2

，点P是射线EA上的动点，PD⊥y轴于D，PE⊥x轴于E，设点P的横坐标为m，矩形PDOE与△POC重叠部分的面积为S．
（1）求线段OC所在直线的解析式；
（2）求S与m的函数解析式；
（3）当0＜m＜4时，求S的最大值；
（4）当S=0.65时，m的值有

 

个．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）在一次函数解析式中令y=

3

2

，即可求得C的横坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）分0≤m≤2和2＜m＜4两种情况进行讨论，利用三角形的面积公式求解；
（3）分0≤m≤2和2＜m＜4两种情况，分别利用函数的性质求解；
（4）分0≤m≤2和2＜m＜4两种情况，分别求得S的范围即可求解．

解答：解：（1）在y=-

3

4

x+3中，令y=

3

2

，则-

3

4

x+3=

3

2

，
解得：x=2，
则C的坐标是（2，

3

2

），
设OC的解析式是y=kx，则2k=

3

2

，
解得：k=

3

4

，
则OC的解析式是：y=

3

4

x；
（2）P的横坐标是m，则纵坐标是-

3

4

m+3，
在y=

3

4

x中，令x=m，则y=

3

4

m，即S的坐标是（m，

3

4

m）．
当0≤m≤2时，重合部分是△OPS，则S=

1

2

【（-

3

4

m+3）-

3

4

m】m=-

3

4

m²+

3

2

m；
当2＜m＜4时，在y=

3

4

x中，令y=-

3

4

m+3，则

3

4

x=-

3

4

m+3，解得：x=-m+4，即F的横坐标是-m+4，则PF=m-（-m+4）=2m-4，
则S=

1

2

（2m-4）•（-

3

4

m+3），即S=-

3

4

m²+

9

2

m-6；
（3）0≤m≤2时，则m=1时，S的最大值是：-

3

4

+

3

2

=

3

4

；
当2＜m＜4时，当m=3时，S的最大值是：-

27

4

+

27

2

-6=

3

4

．
总之，当0＜m＜4时，S的最大值是

3

4

；
（4）当0≤m≤2时，则0＜S≤

3

4

，则当S=0.65的m的值有2个；
2＜m＜4时，0＜S≤

3

4

，则S=0.65的m的值有2个．
故当S=0.65时，m的值有4个．
故答案是：4．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的性质，正确求得函数的解析式是关键．