Question

14．如图，在△ABC中，∠A=45°，tanB=$\frac{3}{4}$，BC=10，则AB的长为14．

Answer 1

分析 过C作CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，tanB=CD：BD=$\frac{3}{4}$，设BD=4k，则CD=3k，再由BC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出BD与CD的长，由CD垂直于AB，∠A=45°，得到三角形ACD为等腰直角三角形，可得出CD=AD，求出AD的长，由AD+DB即可求出AB的长．

解答 解：过C作CD⊥AB，交AB于D点，
在Rt△BCD中，tanB=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{4}$，BC=10，
设BD=4k，则CD=3k，
根据勾股定理得：BD²+CD²=BC²，即（4k）²+（3k）²=10²，
解得：k=2或k=-2（舍去），
∴BD=8，CD=6，
又∠ADC=90°，∠A=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD=6，
则AB=AD+DB=6+8=14．
故答案为：14．

点评 本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及方程的数学思想，是一道综合性较强的试题．