Question

4．已知△ABC，分别以AB、AC为边，作等腰直角△ABD和△ACE．
（1）如图1，连接BE、CD，请判断BE与CD的位置关系，并证明；
（2）如图2，连接DE，过A作AG⊥DE，延长GA交BC于F，猜想线段AF和DE的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）延长AF到H，使FH=AF，连接CF，根据已知条件得到△ABF≌△HCF，由全等三角形的性质得到∠3=∠4，AB=CF，证得AB∥CF，根据平行线的性质得到∠BAC+∠ACH=180°，求出∠ACH=∠DAE，证得△ADE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到结论．

解答 （1）证明：在等腰直角△ABD和等腰直角△ACE中
AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，
∠ADB=∠ABD=45°．
∴∠BAE=∠DAC．
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ADC+∠ABD+∠BDC=90°=∠ABE+∠ABD+∠BDC，
即∠DBP+∠BDC=90°．
∴∠BPC=90°，
∴BE⊥CD；

（2）延长AF到H，使FH=AF，连接CH，
在△ABF与△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=HF}\\{∠1=∠2}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△HCF，
∴∠3=∠4，AB=CF，
∴AB∥CF，
∴∠BAC+∠ACH=180°，
∵∠BAC+∠DAE=360°-∠DAB-∠EAC=180°，
∴∠ACH=∠DAE，
∴AE=AC，AD=CH，
在△ADE与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠ACH=∠DAE}\\{AD=CH}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ACF，
∴DE=AH，
∵AH=2AF，
∴DE=2AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．