Question

12．已知等腰△ABC和等腰△ADE的顶点公共，B，A，E在同一条直线上，∠BAC=∠DAE，PB=PD，PC=PE．
（1）如图1，若∠BAC=90°，则∠BPC+∠DPE=180°；
（2）如图2，若∠BAC=α，则∠BPC+∠DPE=2α
（3）在图1的基础上将等腰Rt△ABC绕点A旋转一个角度，得到图3，则∠BPC+∠DPE=180°；并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）易证得△BPE≌△DPC，得到∠1=∠2，∠3=∠4，由∠BAC=90°，得到△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=90°，根据三角形的内角和定理得到∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=90°-∠1-∠4，∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（90°-∠2）-（90°-∠3）=90°+∠2+∠3，即可得到∠BPC+∠DPE；
（2）同（1）一样，只是∠BAC=α，得到∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=90°-$\frac{1}{2}α$，则∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=90°-$\frac{1}{2}α$-∠1-∠4，∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（90°-$\frac{1}{2}α$-∠2）-（90°-$\frac{1}{2}α$-∠3）=α+∠2+∠3，即可得到∠BPC+∠DPE；
（3）连接DC，交BE于Z，交AE于O，先证明△ADC≌△AEB，得到∠3=∠AEB，求出∠AEB+∠COE=90°，求出∠BZO=90°，证明△DCP≌△BEP，得到∠1=∠2，求出∠BPD=90°，同理∠CPE=90°，即可得出答案．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD=AE，B，A，E在同一条直线上，C，A，D在同一条直线上，
∴BE=CD，
在△BPE与△DPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{PB=PD}\\{PC=PE}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△DPC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BAC=90°，
∴△ABC和△ADE是等腰直角三角形三角形，
∴∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=90°，
∵∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=90°-∠1-∠4，
∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（90°-∠2）-（90°-∠3）=90°+∠2+∠3，
∴∠BPC+∠DPE=90°×2=180°；
故答案为：180°；

（2）由（1）证得1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BAC=α，
∴∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=90°-$\frac{1}{2}α$，
∵∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=90°-$\frac{1}{2}α$-∠1-∠4，
∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（90°-$\frac{1}{2}α$-∠2）-（90°-$\frac{1}{2}α$-∠3）=α+∠2+∠3，
∴∠BPC+∠DPE=2α；
故答案为：2α；

（3）解：连接DC，交BE于Z，交AE于O，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠3=∠AEB，
∵∠DAE=90°，
∴∠3+∠AOD=90°，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠AEB+∠COE=90°，
∴∠OZE=180°-90°=90°，
∵△DAC≌△EAB，
∴DC=BE，
在△DCP和△BEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PB}\\{DC=BE}\\{PC=PE}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△BEP（SSS），
∴∠1=∠2，
∵∠DOP=∠BOC，∠1+∠DOP+∠DPO=180°，∠2+∠BOC+∠BZO=180°，
∴∠BZO=∠DPB，
∵∠BZO=90°，
∴∠DPO=90°，
同理∠CPE=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°+90°=180°．
故答案为：180°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．