Question

5．如图，在矩形ABCD中，AB=24，BC=12，M、N两点分别从点B、C开始沿边BC和CD匀速运动，如果点M、N同时出发，它们运动的速度均为每秒2个单位长度，当点M到达终点C时，点N也停止运动，设运动的时间为t（s）．下列说法：①当t=3时，MN∥BD；②当t=6时，△AMN的面积最小；③当t=4时，S_△ABM=S_△AND；④不存在MN与AN垂直的时刻，正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据题意分别求出CM、CN，根据平行线的判定定理判断①；根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质判断②；根据三角形的面积公式求出两个三角形的面积，比较判断③；根据勾股定理的逆定理计算，判断④．

解答 解：当t=3时，BM=6，CN=6，
∴CM=6，DN=18，
∴$\frac{CM}{CB}≠\frac{CN}{CD}$，
∴MN与BD不平行，①错误；
由题意得，△AMN的面积=四边形ABCD的面积-△ADN的面积-△NCM的面积-△ABM的面积
=288-$\frac{1}{2}$×12×（24-2t）$-\frac{1}{2}×$2t×（12-2t）-$\frac{1}{2}×$24×2t
=t²-12t+144
=（t-12）²，
当t≤12时，y随x的增大而减小，又0≤t≤6，
∴当t=6时，△AMN的面积最小，②正确；
当t=4时，S_△ABM=$\frac{1}{2}×$24×8=96，
S_△AND=$\frac{1}{2}$×12×（24-8）=96，
∴当t=4时，S_△ABM=S_△AND，③正确；
由题意得，AN²=AD²+DN²=144+（24-2t）²=4t²-96t+720，
MN²=CN²+CM²=8t²-48t+144，
AM²=AB²+BM²=4t²+576，
当MN与AN垂直时，4t²-96t+720+8t²-48t+144=4t²+576，
整理得，t²-18t+36=0，
解得，t₁=9-3$\sqrt{5}$，t₂=9+3$\sqrt{5}$（不合题意），
当t=9-3$\sqrt{5}$时，MN与AN垂直，④不正确；
故选：B．

点评 本题考查的是矩形的性质、平行线的判定、勾股定理的逆定理的应用，掌握平行线的判定定理、二次函数解析式的求法和二次函数的性质以及勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．