Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA=24，OB=12；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同都是1个单位/秒，设经过x秒时（0≤x≤12），△POM的面积为y．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的

1

8

；
（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点是否在直线AB上，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，用待定系数法即可求解；
（2）根据S_△OMP=

1

2

OM?OP，即可求解；
（3）根据面积之间关系列出等式即可求解；
（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM，先求出D点坐标，看是否在直线y=-

1

2

x+12
上即可判断；

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
A点坐标为（24，0），B为（0，12），
把A、B两点的坐标代入上式，得：

24k+b=0 b=12

，
解得

k=- 1 2 b=12

，
∴y=-

1

2

x+12；

（2）∵S_△OMP=

1

2

OM?OP，
∴y=

1

2

(12-x)•x
即y=-

1

2

x2+6x；

（3）∵S_△AOB=

1

2

×OA?OB=144，
∴

1

8

S_△AOB=18，即y=18，
当-

1

2

x2+6x=18时，
解得：x=6；

（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM，
当x=-

6

2×(- 1 2 )

=6时，S_△POM=y有最大值．
此时OP=6，OM=12-x=6
∴△OMP是等腰直角三角形．
∵将△POM沿PM所在直线翻折后得到△POM．
∴四边形OPDM是正方形
∴D（6，6），
把D（6，6）代入y=-

1

2

x+12
x=6时，y=-

1

2

×6+12=9≠6
∴点D不在直线AB上．

点评：本题考查了二次函数的最值及矩形的性质，难度较大，关键是正确理解与把握题中给出的已知信息．