Question

【题目】在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．

（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？

（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）当MN=3时，点P恰好落在BC上；（2）当x=4时，y的值最大，最大值是4．

【解析】

（1）连接AP，交MN于O，证△AMN∽△ABC，AO⊥MN，得，求MN即可；（2）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O，证△AMN∽△ABC，P⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，利用相似性质得y=S梯形MNFE=（EF+MN）OD=×（2x﹣6+x）×（4﹣x）=﹣（x﹣4）2+4，求函数最值即可.

解：（1）连接AP，交MN于O，

∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，

∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，

∴，

∵BC=6，

∴MN=3，

∴当MN=3时，点P恰好落在BC上；

（2）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O，

∵MN∥BC，

∴AO⊥MN，

∴△AMN∽△ABC，

∴，

∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，BD=BC=3，

∴AD=4，

∴，

∴AO=x，

∴S△AMN=MNAO=xx=x2，

当AO≤AD时，

根据题意得：S△PMN=S△AMN，

∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN，

∴y=x2，

∴当AO=AD时，即MN=BC=3时，y最小，最小值为3；

当AO＞AD时，

连接AP交MN于O，

则AO⊥MN，

∵MN∥BC，

∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，

∴，，

即：，，

∴AO=x，

∴，

∴EF=2x﹣6，OD=AD﹣AO=4﹣x，

∴y=S梯形MNFE=（EF+MN）OD=×（2x﹣6+x）×（4﹣x）=﹣（x﹣4）2+4，

∴当x=4时，y有最大值，最大值为4，

综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4．