Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．试问：
（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．
（2）猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系？并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）利用菱形的性质结合条件可证明△APD≌△CPD；
（2）可证明△APE∽△FPA，结合（1）可得PA=PC，可得到PC、PE、PF之间的关系．

解答：解：（1）△APD≌△CPD，
理由：∵四边形ABCD菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，
在△APD和△CPD中，

AD=CD ∠ADP=∠CDP PD=PD

，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）猜想：PC²=PE•PF．
证明：∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥BF，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
又∵∠APE=∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴

AP

FP

=

PE

PA

，
∴PA²=PE•PF，
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC，
∴PC²=PE•PF．

点评：本题主要考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，在（2）中证明△APE∽△FPA是解题的关键，注意菱形性质的应用．